Question

设函数f(x)=2cos2x+

3

sin2x
（I）求f（x）的最小正周期以及单调增区间；
（II）若f(x)=

5

3

，-

π

6

＜x＜

π

6

，求sin2x的值．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的二倍角公式化简f（x）为f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1，利用周期公式求出周期；令 2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

求出x的范围写成区间形式即为单调增区间；
（II）利用三角函数的平方关系求出∴cos(2x+

π

6

)＞0，cos(2x+

π

6

)=

2 2

3

，将2x=(2x+

π

6

-

π

6

))，利用两角常的正弦公式展开即可．

解答：解：（I）f(x)=2cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1…（2分）
∴f（x）的最小正周期为π    
令 2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

               …（4分）
所以f（x）单调增区间为 [kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z…（6分）
（II）2sin(2x+

π

6

)+1=

5

3

∴sin(2x+

π

6

)=

1

3

∵-

π

6

＜x＜

π

6

，-

π

6

＜2x+

π

6

＜

π

2

，
∴cos(2x+

π

6

)＞0，cos(2x+

π

6

)=

2 2

3

…（8分）sin2x=sin(2x+

π

6

-

π

6

)=sin(2x+

π

6

)cos

π

6

-cos(2x+

π

6

)sin

π

6

=

3 -2 2

6

…（13分）

点评：解决三角函数中的给值求值的问题，一般先将未知的角用已知的角表示，然后利用和、差角的三角函数公式展开求出值．