Question

已知数列{a_n}是首项a₁=a，公差为2的等差数列，数列{b_n}满足2b_n=（n+1）a_n；
（1）若a₁、a₃、a₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^*都有b_n≥b₅成立，求实数a的取值范围；
（3）数列{c_n}满足 cn+1-cn=(

1

2

)n(n∈N*)，其中c₁=1，f（n）=b_n+c_n，当a=-20时，求f（n）的最小值（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）根据a₁、a₃、a₄成等比数列，建立等式关系，可求出a的值，从而求出数列{a_n}的通项公式；
2）根据题意数列{a_n}是等差数列可得其通项公式为a_n=2n+（a-2），进而得到b_n的表达式，是一个关于n的二次式，结合二次函数的性质解决问题即可．

解答：解：（1）因为a₁、a₃、a₄成等比数列，所以a₁•a₄=a₃²，即a•（a+6）=（a+4）²，a=-8．
所以a_n=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）
（2）由2b_n=（n+1）a_n，bn=n2+

a

2

n+

a-2

2

=(n+

a

4

)2-(

a-4

4

)2，…（6分）
由题意得：

9

2

≤-

a

4

≤

11

2

，-22≤a≤-18…（10分）
（3）因为cn+1-cn=(

1

2

)n，
所以c_n=c₁+（c₂-c₁）+（c₃-c₂）+…+（c_n-c_n-1）=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2+(

1

2

)n-1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

…（13分）
所以f（n）=b_n+c_n=n2+

a

2

n+

a-2

2

+2-(

1

2

)n-1，
则f(n+1)=(n+1)2+

a

2

(n+1)+

a-2

2

+2-(

1

2

)n-1，f(n+1)-f(n)=[(n+1)2+

a

2

(n+1)+

a-2

2

+2-(

1

2

)n]-[n2+

a

2

n+

a-2

2

+2-(

1

2

)n-1]=2n+1+(

1

2

)n-10=2n+(

1

2

)n-9…（14分）
所以当k＞10时，f(n+1)-f(n)=2n+(

1

2

)n-9＞0
即f（5）＜f（6）＜…＜f（n）＜…（15分）
所以当1≤n≤4时，f(n+1)-f(n)=2n+(

1

2

)n-9＜8+

1

2

-9＜0
即f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）…（16分）
f(n)=n2+

a

2

n+

a-2

2

+2-(

1

2

)n-1=n2-10n-9-(

1

2

)n-1
所以 f（5）-f（4）＜0，所以f(n)min=f(5)=-

545

16

…（18分）

点评：对于第二问解决此类问题的关键是熟悉等差数列的通项公式以及二次函数的性质，并且进行正确的运算也是关键，同时考查了数列的单调性求最值，属于中档题．