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已知数列{an}是首项a1=
1
4
的等比数列,其前n项和Sn中S3,S4,S2成等差数列,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log
1
2
|an|,若Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
,求证:
1
6
≤Tn
1
2
分析:(1)若q=1,则S3=
3
4
,S4=1,S2=
1
2
,显然S3,S4,S2不构成等差数列,所以q≠1;当q≠1时,由S3,S4,S2成等差数列得2•
a1(1-q4)
1-q
=
a1(1-q3)
1-q
+
a1(1-q2)
1-q
,可求公比,进而可求数列{an}的通项公式;
(2)根据bn=log
1
2
|an|=n+1,可得
1
bnbn+1
=
1
(n+1)(n+2)
=
1
n+1
-
1
n+2
,可求Tn,进而可得{Tn}是递增数列,故可得证.
解答:(1)解:若q=1,则S3=
3
4
,S4=1,S2=
1
2
,显然S3,S4,S2不构成等差数列.
∴q≠1,
当q≠1时,由S3,S4,S2成等差数列得2•
a1(1-q4)
1-q
=
a1(1-q3)
1-q
+
a1(1-q2)
1-q

∴2q2-q-1=0
∵q≠1,∴q=-
1
2

∵a1=
1
4

an=(-
1
2
)
n+1

(2)证明:∵bn=log
1
2
|an|=n+1,
1
bnbn+1
=
1
(n+1)(n+2)
=
1
n+1
-
1
n+2

∴Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
=(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
n+1
-
1
n+2
)=
1
2
-
1
n+2

Tn+1-Tn=
1
(n+2)(n+3)
>0

∴{Tn}是递增数列.
∴T1≤Tn
1
6
≤Tn
1
2
点评:本题以等比数列为载体,考查数列的通项公式,考查裂项法求数列的和,考查不等式的证明,解题的关键是裂项法求数列的和.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,其前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,且b1=1,bn>0,数列{ban}是公比为64的等比数列.
(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求证:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
3
4

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}是首项为1的等差数列,且公差不为零,而等比数列{bn}的前三项分别是a1,a2,a6
(I)求数列{an}的通项公式an
(II)若b1+b2+…bk=85,求正整数k的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,又数列{bn}的前n项和Sn=nan
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=
1bn(2an+3)
,求数列{cn}的前n项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}是首项a1=a,公差为2的等差数列,数列{bn}满足2bn=(n+1)an
(1)若a1、a3、a4成等比数列,求数列{an}的通项公式;
(2)若对任意n∈N*都有bn≥b5成立,求实数a的取值范围;
(3)数列{cn}满足 cn+1-cn=(
12
)n(n∈N*)
,其中c1=1,f(n)=bn+cn,当a=-20时,求f(n)的最小值(n∈N*).

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