Question

已知数列{a_n}是首项a₁=

1

4

的等比数列，其前n项和S_n中S₃，S₄，S₂成等差数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log

1

2

|a_n|，若T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

，求证：

1

6

≤T_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）若q=1，则S₃=

3

4

，S₄=1，S₂=

1

2

，显然S₃，S₄，S₂不构成等差数列，所以q≠1；当q≠1时，由S₃，S₄，S₂成等差数列得2•

a1(1-q4)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q2)

1-q

，可求公比，进而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据b_n=log

1

2

|a_n|=n+1，可得

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，可求T_n，进而可得{T_n}是递增数列，故可得证．

解答：（1）解：若q=1，则S₃=

3

4

，S₄=1，S₂=

1

2

，显然S₃，S₄，S₂不构成等差数列．
∴q≠1，
当q≠1时，由S₃，S₄，S₂成等差数列得2•

a1(1-q4)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q2)

1-q

∴2q²-q-1=0
∵q≠1，∴q=-

1

2

∵a₁=

1

4

∴an=(-

1

2

)n+1
（2）证明：∵b_n=log

1

2

|a_n|=n+1，
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

∴Tn+1-Tn=

1

(n+2)(n+3)

＞0，
∴{T_n}是递增数列．
∴T₁≤T_n
∴

1

6

≤T_n＜

1

2

．

点评：本题以等比数列为载体，考查数列的通项公式，考查裂项法求数列的和，考查不等式的证明，解题的关键是裂项法求数列的和．