Question

已知

i

、

j

分别是x、y轴正方向的单位向量，点P（x，y）为曲线C上任意一点，

a

=(x-1)

i

+y

j

，

b

=(x+1)

i

+y

j

且满足

b

•

i

=|

a

|．
（1）求曲线C的方程．
（2）是否存在直线l，使得l与C交于不同两点M、N，且线段MN恰被直线x=

1

2

平分？若存在求出l的倾斜角α的范围，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）把P（x，y）代入，

a

=(x-1)

i

+y

j

，

b

=(x+1)

i

+y

j

且满足

b

•

i

=|

a

|，根据抛物线的定义即可求得曲线C的方程；
（2）假设存在直线l满足题意，设出直线l的方程与曲线C联立，消去y，得到关于x的一元二次方程有两个不等实根，△＞0；利用韦达定理可得关于斜率的方程，即可求得斜率的范围，从而可求l的倾斜角α的范围．

解答：解：（1）设点A（-1，0），F（1，0）则由

b

•

i

=|

a

|
知

b

在

i

方向上的射影等于

a

的模．
故点P的轨迹是抛物线，且以F（1，0）为焦点以x=-1为准线．
所以C：y²=4x
（2）设存在，由题知l的斜率存在且设l为：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则
由

y2=4x y=kx+m

得：k²x²+（2km-4）x+m²=0x1+x2=-

(2km-4)

2k2

①
△=（2km-4）²-4k²m²＞0得km＜1②
又

x1+x2

2

=

1

2

③
由①③知：m=

2-k2

k

④
由②④得k＞1或k＜-1
∴α∈(

π

4

，

π

2

)∪(

π

2

，-

3π

4

)

点评：考查向量的数量积和抛物线的定义，直线与圆锥曲线相交弦的中点问题，解题方法一般联立，消元，利用韦达定理，体现了方程的思想和转化的思想方法，属中档题．