Question

设p：f（x）=x³+2x²+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，函数q：g（x）=x²-4x+3m不存在零点则p是q的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分必要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：由“f（x）在（-∞，+∞）内单调递增”，可转化为“f′（x）≥0在（-∞，+∞）上恒成立”，即3x²+4x+m≥0在（-∞，+∞）上恒成立，用判别式解．由“g（x）不存在零点”，可知相应方程无根．根据两个结果，用集合法来判断逻辑关系．

解答：解：f（x）在（-∞，+∞）内单调递增，
则f′（x）≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
即3x²+4x+m≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
即△₁=16-12m≤0，即m≥

4

3

；
g（x）不存在零点，
则△₂=16-12m＜0，即m＞

4

3

．
故p成立q不一定成立，q成立p一定成立，故p是q的必要不充分条件．
故选B．

点评：本题主要考查常用逻辑用语，涉及了函数的单调性及函数零点问题．