Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=，AA₁=1，∠ACB=90°
（Ⅰ）求异面直线A₁B与CB₁所成角的大小；
（Ⅱ）问：在A₁B₁边上是否存在一点Q，使得平面QBC与平面A₁BC所成的角为30°，若存在，请求点Q的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．比如此题中，我们可以以C为坐标原点，分别以CA、CB、CC₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．A₁（，0，1），B₁（0，，0），C（0，0，0），，B（0，，1）
（Ⅰ）=（-，，-1），|=|，=（0，，1），=2
（Ⅱ）假设在A₁B₁边上是否存在一点Q，使得平面QBC与平面A₁BC所成的角为30°，反推计算可得．
解答：解：建立如示空间直角坐标系，则
A₁（，0，1），B₁（0，，0），C（0，0，0），，B（0，，1），=（-，，-1），|=|
=（0，，1），=2，
cos＜•＞===
异面直线A₁B与CB₁所成的角为arccos（6分）
（Ⅱ）答：存在这样的点Q，使得面QBC与面A₁BC成30°角
解：∵是直三棱柱，又∠ACB=90°，∴BC⊥CA₁，BC⊥CC₁
∴∠A₁CC₁是二面角A₁-BC-C₁所成的平面角
在Rt△A₁C₁C中，∠A₁CC₁=60°（8分）
在A₁B₁边上取一点Q，在平面A₁B₁C₁中作QP∥B₁C₁，交A₁C₁于P，连PC
过证PQBC共面
∴∠A₁CP就是Q-BC-A₁的平面角为30°（10分）
∵30°＜60°，故有在点P，在角A₁CC₁的平分线上
在Rt△PC₁C中，可PC₁=
又A₁B₁=，由相似比可得，Q在距点A处（或距B₁点处）（12分）
点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、异面直线所成的角等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力