Question

已知y=f（x）是二次函数，且f（1）=f（-1）=0，方程f（x）=1有两个相等的实数根，g（x）=

1+x2

f(x)

；
（1）求函数y=f（x）；
（2）若g（a）=2求a的值；
（3）求证：g（

1

x

）=-g（x）

Answer 1

分析：（1）由f（1）=f（-1）=0，知1，-1是函数y=f（x）的零点，可设函数的零点式，然后表示出方程f（x）=1，根据方程有两相等实根可得判别式△=0，由此可得结论；
（2）由（1）可表示出g（x）的解析式，从而可表示出方程g（a）=2，解出即可；
（3）把

1

x

代入g（x）表达式运算可得结论．

解答：解：（1）由f（1）=f（-1）=0，知1，-1是函数y=f（x）的零点，
又y=f（x）是二次函数，可设f（x）=a（x+1）（x-1），（a≠0），
则f（x）=1化为a（x+1）（x-1）=1，即ax²-a-1=0，
∵f（x）=1有两个相等实根，
∴△=-4a（-a-1）=0，化简得a（a+1）=0，解得a=-1或a=0（舍），
故f（x）=-（x+1）（x-1）=-x²+1，即f（x）=-x²+1．
（2）由（1）可得g（x）=

1+x2

f(x)

=

1+x2

-x2+1

，
则由g（a）=2，得

1+a2

-a2+1

=2，解得a=±

3

3

；
证明：（3）g（

1

x

）=

1+( 1 x )2

-( 1 x )2+1

=

x2+1

x2-1

=-

x2+1

-x2+1

=-g（x）．

点评：本题考查函数解析式的求解及其常用方法，考查二次函数的零点及其性质，属基础题，已知函数类型求函数解析式，常用待定系数法求解．