Question

从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．
（Ⅰ）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；
（Ⅱ）记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ

Answer 1

分析：（1）集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集有2⁵-1个，等可能地取出一个有31种结果，而满足条件集合中的所有元素之和为10的通过列举有3个，根据古典概型公式得到结果．
（2）所取出的非空子集的元素个数为ξ，由题意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5，类似于第一问得到各值对应的概率，写出分布列，算出期望．

解答：解：记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A
基本事件数是C₅¹+C₅²+C₅³+C₅⁴+1=31
事件A包含的事件是{1、4、5}，{2、3、5}，{1、2、3、4}
∴P（A）=

3

31

，
（2）由题意知ξ的可能取值是1、2、3、4、5，
ξ的分布列是：
又P（ξ=1）=

C 1 5

31

=

5

31

，
P（ξ=2）=

C 2 5

31

=

10

31

，
P（ξ=3）=

C 3 5

31

=

10

31

P（ξ=4）=

C 4 5

31

=

5

31

P（ξ=5）=

C 5 5

31

=

1

31

∴Eξ=1×

5

31

+2×

10

31

+3×

10

31

+4×

5

31

+5×

1

31

=

80

31

点评：本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．本题还考到了集合的子集个数问题，一个含有n个元素的集合的子集个数是2ⁿ．