Question

(本题满分14分)．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，

∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝.

(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB；

(Ⅱ) 过PC中点F作FH//平面PBD, FH交平面ABCD 于H点，判定H点位于平面ABCD的那个具体位置？（无须证明）

（Ⅲ）求二面角A－BE－P的大小.

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】解:(Ⅰ)如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，ΔBCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，    2分

又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，

BE平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，

因此BE⊥平面PAB.    

又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.  5分

(Ⅱ) 答1：H点在AC线段的4等分点上，且距离C点；9分

答2:H点与E点重合       9分

答3：取BC中点G，容易证明平面EFG//平面PBD,那么平面EFG内任意一直线都与平面PBD平行，就是H点在EG直线上都满足题意。

（Ⅲ）由(Ⅰ)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.

又AB⊥BE，

所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.                12分

在RtΔPAB中，tan∠PBA＝，∠PBA＝60°.      13分

故二面角A－BE－P的大小是60°.                     14分