Question

【题目】已知椭圆上一点关于原点的对称点为，点， 的面积为，直线过上的点.

（1）求的方程；

（2）设为的短轴端点，直线过点交于，证明：四边形的两条对角线的交点在定直线上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据已知可得，根据椭圆的对称性结合的面积为，求出点的横坐标，利用三点共线，求出点的纵坐标，将点坐标代入椭圆方程，即可求解.

（2）设，得出直线方程，联立求出交点坐标，要证明交点在定直线上，寻求关系，设出直线方程，与椭圆方程联立，消元得到的方程，得到关系，代入交点坐标，化简即可证明结论.

（1）设坐标原点为，.

由题意得，，

又，且直线过上的点，所以.

又三点共线，所以，即，故.

又直线过上的点，所以，

即椭圆，将代入椭圆，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）依题意，直线斜率必存在，设其方程为，

设，，则，，，，

联立得，

所以，解得，

，，所以，

不妨设，，

所以直线方程为，直线方程为，

联立整理，

解得

，

所以，四边形的两条对角线的交点在定直线上.