Question

如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

Answer 1

S_表面＝(60＋4)π．V＝π．

解析试题分析：该图形旋转后是一个圆台除去一个倒放的圆锥，
则S_表面＝S_下底面＋S_台侧面＋S_{锥侧面 ，}
设圆台上，下地面半径是r₁，r₂,
则 S_表面=π×r₂²＋π×(r₂＋r₁)×5＋π×r₁×CD
V＝V_台－V_锥＝π(＋r₁r₂＋)AE－πr²DE，将数据代入计算即可。
试题解析：
如图，设圆台上，下地面半径是r₁，r₂,过C点作CF⊥AB，由∠ADC＝135°，CE⊥AD, CD=2得∠EDC＝45°，r₁=" CE=" 2,

则CF=4，BF=3，CF⊥AB，得BC=5，r₂=" AB=" 5,
∴S_表面＝S_下底面＋S_台侧面＋S_锥侧面
=π×r₂²＋π×(r₂＋r₁)×5＋π×r₁×CD
＝π×5²＋π×(2＋5)×5＋π×2×2
＝(60＋4)π．
V＝V_台－V_锥  
＝π(＋r₁r₂＋)AE－πDE
=π(＋2×5＋)4－π×2
＝π．
考点：圆台，圆锥的表面积和体积.