Question

【题目】已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，点A到x轴的距离等于|AF|﹣1．

（1）求抛物线C的方程；
（2）直线AF与C交于另一点B，抛物线C分别在点A，B处的切线交于点P，D为y轴正半轴上一点，直线AD与C交于另一点E，且有|FA|=|FD|，N是线段AE的靠近点A的四等分点．
（i）证明点P在△NAB的外接圆上；
（ii）△NAB的外接圆周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：过A作AM⊥x轴，垂足为M，设抛物线的准线方程为：y=﹣ ，

∴AF=AM+ ，

∴ =1，即p=2．

∴抛物线C的方程为：x2=4y．

（2）解：（i）设A（x1， ），B（x2， ），

∵A，B，F（0，1）三点共线，∴ ，∴x1x2=﹣4，

由x2=4y得y= ，

∴切线AP的方程为：y﹣ = （x﹣x1），

切线BP的方程为：y﹣ = （x﹣x2），

联立方程组可得P（ ﹣ ，﹣1），

∴ =（ ， +1）， =（﹣ ﹣ ， +1），

∴ =（ ）（﹣ ﹣ ）+（ +1）（ +1）=0，

∴∠BPA=90°．

∵|FD|=|FA|= +1，∴D（0， +2），

设E（x3， ），由A，D，E三点共线得： ，

∴x3=﹣x1﹣ ，

∵N是AE的靠近A的四等分点，

∴N（﹣ + ， +1），

∴ =（ + ，﹣ ﹣1）， =（﹣ ﹣ ，﹣ ﹣1）．

∴ =（ + ）（﹣ ﹣ ）+（﹣ ﹣1）（﹣ ﹣1）=0，

∴∠BNA=90°，

∴A，B，P，N四点共圆，

∴P在△ABN的外接圆上．

（ii）由（i）可知|AB|为△ABN的外接圆直径．

∵|AB|= +2= ≥2| || |+2=4．

当且仅当| |=| |即x1=±1时，取等号．

∴当x1=1或﹣1时，△ABN的外接圆周长最小，最小周长为4π．

【解析】（1）利用抛物线的性质可知 =1，从而得出抛物线方程；（2）（i）设A（x1， ），B（x2， ），E（x3， ），由三点共线可得x2，x3与x1的关系，求出P，N的坐标，利用向量证明AP⊥BP，AN⊥BN，从而可得A，B，P，N四点共圆；

（ii）利用基本不等式求出外接圆的直径|AB|的最小值即可得出周长的最小值．