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    已知函数，构造函数F（x）：当时，，当时，，那么F（x）    （    ）

    A．有最大值3，最小值-1    B。有最大值，无最小值

    C．有最大值3，无最小值    D。无最小值，也无最大值

    B
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    1
    2
    x2+lnx    ．
    （Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
    （Ⅱ）求证：在区间（1，+∞）上函数f（x）的图象在函数g（x）=
    2
    3
    x3    图象的下方；
    （Ⅲ）请你构造函数h（x），使函数F（x）=f（x）+h（x）在定义域（0，+∞）上，存在两个极值点，并证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源：辽宁省沈阳四校协作体2011-2012学年高一上学期期中联考数学试题 题型：013

    已知函数．构造函数y＝F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)＜g(x)时，F(x)＝f(x)．那么y＝F(x)

    [　　]
    A．

    有最大值3，最小值－1

    B．

    有最大值3，无最小值

    C．

    有最大值，无最小值

    D．

    有最大值，最小值

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    科目：高中数学 来源：2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷解析版） 题型：解答题

    已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.

    （1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

    （2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.

    【解析】解：令.

    当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

    于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

    令则

    当时，单调递增；当时，单调递减.

    故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

    综上所述，的取值集合为.

    （Ⅱ）由题意知，令则

    令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

    从而，又

    所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

    【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

     

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    科目：高中数学 来源：丰台区一模 题型：解答题

    已知函数f（x）=
    1
    2
    x2+lnx    ．
    （Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
    （Ⅱ）求证：在区间（1，+∞）上函数f（x）的图象在函数g（x）=
    2
    3
    x3    图象的下方；
    （Ⅲ）请你构造函数h（x），使函数F（x）=f（x）+h（x）在定义域（0，+∞）上，存在两个极值点，并证明你的结论．

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