Question

正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是EF的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）在线段CA上是否存在点P，使直线PF与CD所成的角为60°．若存在请确定点P位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设底面对角线的交点为O，连接E、O，根据M为EF的中点，四边形ACEF为矩形则EM∥AO且EM=AO，从而AM∥OE，又OE在平面BDE面内，AM在平面BDE面外，满足线面平行的判定定理所需条件，从而证得结论；
（Ⅱ）一点C为坐标原点，分别以CD、CB、CE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出向量

AM

，

BD

，

DF

，根据

AM

•

BD

=0，

AM

•

DF

=0可得AM⊥BD，AM⊥DF，而BD∩DF=D，根据线面垂直的判定定理可证得AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）设P（x，y，z），

CP

=t

CA

 （0≤t≤1），求出

PF

，

CD

，根据直线PF与CD所成的角为60°建立等式求出t的值，从而确定点P的位置．

解答：（Ⅰ）证明：设底面对角线的交点为O，连接E、O． …（1分）
∵M为EF的中点，四边形ACEF为矩形
∴EM∥AO且EM=AO
∴AM∥OE         …（2分）
又OE在平面BDE面内，AM在平面BDE面外          …（3分）
∴AM∥平面BDE．  …（4分）
（Ⅱ）证明：建立如图所示的坐标系C-xyz
A（

2

，

2

，0），M（

2

2

，

2

2

，1），B（0，

2

，0），D（

2

，0，0），F（

2

，

2

，1），

AM

=（-

2

2

，-

2

2

，1），

BD

=（

2

，-

2

，0），

DF

=（0，

2

，1），
∵

AM

•

BD

=0，

AM

•

DF

=0
∴AM⊥BD，AM⊥DF  …（6分）
又∵BD∩DF=D        …（7分）
∴AM⊥平面BDF       …（8分）
（Ⅲ）证：设P（x，y，z），则C（0，0，0），A（

2

，

2

，0），D（

2

，0，0），F（

2

，

2

，1），
设

CP

=t

CA

 （0≤t≤1）即
（x，y，z）=t（

2

，

2

，0）=（

2

t，

2

t，0）
∴P（

2

t，

2

t，0）…（10分）
∴

PF

=（

2

-

2

t，

2

-

2

t，1），

CD

=（

2

，0，0），
∴cos＜

PF

，

CD

＞=

2 - 2 t

5-8t+4t2 2

=±

1

2

  （0≤t≤1）
∴t=

1

2

或t=

3

2

（舍）
∴

CP

=

1

2

CA

∴P为线段AC的中点     …（12分）

点评：本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角，以及线面平行的判定和线面垂直的判定、异面直线所成角，同时考查了计算能力，属于中档题．