Question

【题目】如图，多面体中，底面为菱形，，，，，且平面底面，平面底面．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)要证平面，将其转化到的平行线上，分别过点作的垂线，垂足为，连接，过点作，垂足为，下证，继而求证结果

(2)以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，运用二面角夹角公式求出结果

（1）分别过点作的垂线，垂足为，连接

因为平面底面，平面底面，

所以平面，又平面，

所以．

同理可证，平面，所以.

过点作，垂足为

在中，，，则

又，所以，又，

所以四边形为平行四边形，则.

从而，又，

所以平面，故平面.

（2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

由（1）知，则，，，，

所以，，.

设平面的一个法向量为，则，即，

解得

令，则，，所以.

设平面的一个法向量为，则，即，

解得

令，则，，所以.

从而，故二面角的余弦值为.