Question

【题目】已知椭圆（）的左右焦点分别为，左右顶点分别为，过右焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，，的周长为.过点作直线交椭圆于第一象限的点，直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若的面积为，求直线的方程；

（3）证明：点在定直线上.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）根据椭圆的性质，即可由此即可求出椭圆的方程；

（2）分直线MN的斜率存在和不存在两种情况，利用韦达定理求出弦长，然后再根据点到直线的距离公式求出高的长度，再根据的面积为，即可求出结果；

（3）设：，与椭圆联立，可得，设：，同理可得 ，可得的方程为：，又直线方程过，将代入直线方程，由此可得，因为与交于点，所以可得，由此即可求出结果.

（1），解得：；

所以椭圆方程为：.

（2）设，①当直线MN斜率存在时：设MN方程为，联立得：，

，；

；

到MN直线的距离为，

；

当时，MN直线方程过直线MN与椭圆的交点不在第一象限（舍）；

所以MN方程为.

②当直线MN斜率不存在时，（舍）.

综上：直线MN方程为：

（3）设：，与椭圆联立：，

同理设：，可得

所以的方程为：以及方程过，将坐标代入可得：， .

又因为与交于P点，即，，将代入得，所以点P在定直线上 .