Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1-4lnx}{{x}^{2}}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{e}$，+∞），且x₁≠x₂，不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$≤$\frac{k}{{{x}_{1}}^{2}•{{x}_{2}}^{2}}$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为$\frac{4l{nx}_{1}+k-1}{{{x}_{1}}^{2}}$≤$\frac{4l{nx}_{2}+k-1}{{{x}_{2}}^{2}}$，设g（x）=$\frac{4lnx+k-1}{{x}^{2}}$，则g（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）递减，根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-6+8lnx}{{x}^{3}}$，令f′（x）=0，解得：x=${e}^{\frac{3}{4}}$，
故x∈（0，${e}^{\frac{3}{4}}$）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（${e}^{\frac{3}{4}}$，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
（2）f（x）=$\frac{1-4lnx}{{x}^{2}}$，于是$\frac{\frac{1-4l{nx}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}}-\frac{1-4l{nx}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}}}{{{x}_{2}}^{2}{{-x}_{1}}^{2}}$≤$\frac{k}{{{x}_{1}}^{2}{{•x}_{2}}^{2}}$，不妨设x₁＞x₂，
∴$\frac{{{x}_{2}}^{2}（1-4l{nx}_{1}）{{-x}_{1}}^{2}（1-4l{nx}_{2}）}{{{x}_{2}}^{2}{{-x}_{1}}^{2}}$≤k，
即${{x}_{2}}^{2}$（1-4lnx₁）-${{x}_{1}}^{2}$（1-4lnx₂）≥k（${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$），
整理得：${{x}_{2}}^{2}$（k+4lnx₁-1）≤${{x}_{1}}^{2}$（k+4lnx₂-1），
即$\frac{4l{nx}_{1}+k-1}{{{x}_{1}}^{2}}$≤$\frac{4l{nx}_{2}+k-1}{{{x}_{2}}^{2}}$，
设g（x）=$\frac{4lnx+k-1}{{x}^{2}}$，则g（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）递减，
又g′（x）=$\frac{-8lnx+6-2k}{{x}^{3}}$，
令g′（x）=0，解得：x=${e}^{\frac{3-k}{4}}$，
故g（x）在（${e}^{\frac{3-k}{4}}$，+∞）递增，
故${e}^{\frac{3-k}{4}}$≤e^-1，
即$\frac{3-k}{4}$≤-1，
故k≥7．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．