Question

【题目】如图，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且平面平面，底面是的菱形， 为棱上的动点，且.

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：

(Ⅰ) 取的中点，连结，可得， ，从而平面，所以，又，所以. (Ⅱ)根据题意可得两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，根据法向量的余弦值的绝对值为可求得，从而可得结论．

试题解析：

（Ⅰ）取的中点，连结，由题意可得， 均为正三角形，

所以， ，

又，

所以平面，

又平面，

所以.

因为，

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.

又平面平面，平面平面， 平面，

所以平面.

故可得两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ， ， ，

所以 ，

由，可得点的坐标为，

所以， ，

设平面的一个法向量为，

由，可得，

令，则，

又平面的一个法向量为，

由题意得，

解得或（舍去），

所以当时，二面角的余弦值为.