Question

函数f：R→R，对任意的实数x，y，只要x+y≠0，就有f（xy）=

f(x)+f(y)

x+y

成立，则函数f（x）（x∈R）的奇偶性为（　　）

• A、奇函数
• B、偶函数
• C、既是奇函数又是偶函数
• D、既不是奇函数又不是偶函数

Answer 1

分析：根据x，y的任意性，对函数进行赋值，x=1，y=0得到f（1）=0，再令y=1得f（x），根据奇偶性的定义判断即可．

解答：解：∵对任意的实数x，y，只要x+y≠0，就有f（xy）=

f(x)+f(y)

x+y

成立
∴令x=1，y=0等式成立，即f（0）=f（1）+f（0）
∴f（1）=0
另可令y=1，x∈R
∴f（x）=

f(x)

x+1

即(1-

1

x+1

)f(x)=0对?x∈R恒成立
∴f（x）≡0
即f（x）既是奇函数又是偶函数
故选C

点评：本题考查抽象函数的奇偶性，解题的关键是合理进行赋值，利用函数奇偶性的定义解决，属于基础题．