Question

（文）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y²=2x于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（1）求x₁x₂与y₁y₂的值；
（2）求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析：（1）设直线l的方程为：y=k（x-2）（k≠0），联立直线方程与抛物线方程构成方程组，消去y后得关于x的二次方程，由韦达定理即可求得x₁x₂的值，y₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]，再代入韦达定理即可求得其值；
（2）要证OA⊥OB，可证明

OA

⊥

OB

，进而转化为证明

OA

•

OB

=0，借助（1）问的结论容易证明；

解答：解：（1）设直线l的方程为：y=k（x-2）（k≠0），
由

y=k(x-2) y2=2x

得k²x²-（4k²+2）x+4k²=0，k≠0，△＞0，
则x1+x2=

4k2+2

k2

，x₁x₂=

4k2

k2

=4，
y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=k²•[4-2×

4k2+2

k2

+4]=k²•（-

4

k2

）=-4．
所以x₁x₂=4，y₁y₂=-4．
（2）由（1）知，x₁x₂=4，y₁y₂=-4，
所以

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=4-4=0，
所以

OA

⊥

OB

，即OA⊥OB．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查方程思想，韦达定理是解决该类题目常用的基础知识，应准确把握．