Question

（2012•安徽模拟）已知椭圆C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），长半轴长为

2

．
（1）（i）求椭圆C的方程；
（ii）类比结论“过圆

x

2

+

y

2

=r2上任一点（x₀，y₀）的切线方程是x0x+yy0=

r

2

”，归纳得出：过椭圆

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)上任一点（x₀，y₀）的切线方程是

x0x

a 2

+

y0y

b 2

=1

；
（2）设M，N是直线x=2上的两个点，若

F1M

•

F2M

=0，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接利用椭圆的焦点坐标与长半轴，求出b，然后求解椭圆的方程．
（2）（i）直接类比圆的切线方程，写出椭圆的切线方程即可．
（ii）设m（2，y₁），N（2，y₂），通过向量的数量积，推出y₁，y₂的关系，求出|MN|的表达式，利用基本不等式求出最小值即可．

解答：解：（1）（i）由焦点坐标可知c=1，长半轴长为

2

，可知，a=

2

，所以b=1，
所以椭圆C的方程为

x 2

2

+y2=1．
（ii）过圆

x

2

+

y

2

=r2上任一点（x₀，y₀）的切线方程是x0x+yy0=

r

2

，
过椭圆

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)上任一点（x₀，y₀）的切线方程是：

x0x

a 2

+

y0y

b 2

=1．
（2）∵M，N是直线x=2上的两个点，
∴设m（2，y₁），N（2，y₂），（不妨y₁＞y₂）．
∵

F1M

•

F2M

=0，
∴（3，y₁）•（1，y₂）=0，
即3+y₁y₂=0，由于y₁＞y₂．所以
y₁＞0，y₂＜0，
∴|MN|=y₁-y₂=y₁+

3

y1

≥2

3

，
当且仅当y₁=

3

，y₂=-

3

，时取等号．
故|MN|的最小值为：2

3

．
故答案为：（ii）

x0x

a 2

+

y0y

b 2

=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，向量的数量积，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．