Question

【题目】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M，m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（0）=2可知c=2，

又A={1，2}，故1，2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两实根．

∴ ，解得a=1，b=﹣2

∴f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，

因为x∈[﹣2，2]，根据函数图象可知，当x=1时，

f（x）min=f（1）=1，即m=1；

当x=﹣2时，f（x）max=f（﹣2）=10，即M=10

（2）解：由题意知，方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两相等实根x1=x2=1，

根据韦达定理得到： ，即 ，

∴f（x）=ax2+bx+c=ax2+（1﹣2a）x+a，x∈[﹣2，2]其对称轴方程为x= =1﹣

又a≥1，故1﹣

∴M=f（﹣2）=9a﹣2

m=

则g（a）=M+m=9a﹣ ﹣1

又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，∴当a=1时，g（a）min=

【解析】（1）由f（0）=2得到c的值，集合A的方程可变为f（x）﹣x=0，因为A={1，2}，得到1，2是方程的解，根据韦达定理即可求出a和b，把a、b、c代入得到f（x）的解析式，在[﹣2，2]上根据函数的图象可知m和M的值．（2）由集合A={1}，得到方程f（x）﹣x=0有两个相等的解都为1，根据韦达定理求出a，b，c的关系式，根据a大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在[﹣2，2]上的m和M，代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）=9a﹣ ﹣1，根据g（a）的在[1，+∞）上单调增，求出g（a）的最小值为g（1），求出值即可．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能得出正确答案．