Question

【题目】数列中，，且对任意的成等比数列，其公比为.

（1）若，求；

（2）若对任意的成等差数列，其公差为.设.

①求证:成等差数列并指出其公差；

②若，试求数列的前项和.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析，；②或.

【解析】

试题分析：（1）公比为，故是首相为,公比为的等比数列，，利用前项和公式求得前项和为；（2）①根据等差中项，可有，利用取倒数的方法，配凑成等差数列，即，所以为等差数列；②由， 解得或，分成两种情况，利用累乘法求得或.

试题解析：

（1）因为,所以,故是首项为,公比为的等比数列，所以 .

（2）①因为成等差数列, 所以,而,则, 得, 所以, 即, 所以是等差数列; 且公差为是等差数列，且公差为 .

②因为,所以，则由， 解得或.（i）当时，, 所以,则,即,得, 所以,则,所以,则, 故 .（ii）当时，,所以, 则, 即,得, ,则所以,则 ,从而，故综上所述，或.