Question

如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，

AE

=

2

3

AD

，

AB

=

a

，

AC

=

b

．
（1）用

a

、

b

表示向量

AD

、

AE

、

AF

、

BE

、

BF

；
（2）求证：B、E、F三点共线．

Answer 1

分析：（1）由题意作出辅助线构成平行四边形ABGC，由四边形法则和D是AG的中点求出

AD

，由题意求出

AE

，由F是AC的中点求出

AF

，再由向量减法的三角形法则求出

BE

和

BF

；
（2）由（1）求出

BE

=

2

3

BF

，故两个向量共线，即B、E、F三点共线．

解答：解：（1）如图所示：解延长AD到G，使

AD

=

1

2

AG

，
连接BG、CG，得到四边形ABGC，
∵D是BC和AG的中点，
∴四边形ABGC是平行四边形，则

AG

=

AB

+

AC

=

a

+

b

，
∴

AD

=

1

2

AG

=

1

2

（

a

+

b

），

AE

=

2

3

AD

=

1

3

（

a

+

b

）．
∵F是AC的中点，∴

AF

=

1

2

AC

=

1

2

b

，
∴

BE

=

AE

-

AB

=

1

3

（

a

+

b

）-

a

=

1

3

（

b

-2

a

）．

BF

=

AF

-

AB

=

1

2

b

-

a

=

1

2

（

b

-2

a

）．
（2）证明：由（1）可知，

BE

=

1

3

（

b

-2

a

），

BF

=

1

2

（

b

-2

a

）．
∴

BE

=

2

3

BF

，即

BE

、

BF

是共线向量，所以B、E、F三点共线．

点评：本题考查了向量的线性运算和共线向量的等价条件，主要运用了向量的数乘运算，向量加法的四边形和向量减法的三角形法则．