【题目】如图所示的三棱柱
中，
平面
，
，
，
的中点为
，若线段
上存在点
使得
平面
.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）设
的长为
，分别以
，
，
的方向为
，
，
轴正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，
，从而求得点
的坐标为
，求得
，利用
平面
列方程
即可求得，问题得解。
（Ⅱ）求出平面
的法向量为
，结合（Ⅰ）中
是平面的一个法向量，利用法向量的夹角坐标表示即可求解。
解：（Ⅰ）方法一：设的长为，依题意可知
，
，
两两垂直，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
则
，
，
，
，
，
，
因此
，
，
.设
，易求得点的坐标为，所以.
因为
平面，所以.
解之得
，所以的长为.
方法二：如图，在平面
内过点
作
的垂线分别交和
于
，
，连接
，在平面
内过点作的垂线交
于
，连接
.
依题意易得，
五点共面.
因为平面，所以
.①
在
中，
，
，因此为线段靠近
的三等分点.
由对称性知，为线段靠近
的三等分点，因此
，
.
代入①，得
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）方法一可知，是平面的一个法向量且，
.
设平面的法向量为
，则
可以为
.
.
因为二面角
为锐角，故所求二面角的余弦值为.
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【题目】为预防
病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于
%，则认为测试没有通过），公司选定
个流感样本分成三组，测试结果如下表：
|
|
| |
疫苗有效 |
|
|
|
疫苗无效 |
|
|
|
已知在全体样本中随机抽取
个，抽到
组疫苗有效的概率是
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取
个测试结果，问应在
组抽取多少个？
（Ⅲ）已知
，
，求不能通过测试的概率．
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【题目】设点
是抛物线
上异于原点
的一点，过点
作斜率为
、
的两条直线分别交
于
、
两点（、
、
三点互不相同）．
（1）已知点
，求
的最小值；
（2）若
，直线
的斜率是
，求
的值；
（3）若
，当
时，点的纵坐标的取值范围．
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【题目】如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．
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【题目】哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如
，在不超过13的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是________（用分数表示）
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【题目】从1至9这9个自然数中任取两个：
恰有一个偶数和恰有一个奇数；
至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
至多有一个奇数和两个数都是奇数；
至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，是对立事件的是
A. B. 
C. D. 
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【题目】如下图所示，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角F－BE－D的余弦值；
(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
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【题目】在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M（5，6），且斜率为
．
（1）求圆 C的平面直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．
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