Question

若定义在R上的函数f（x）为奇函数，且在[0，+∞）上是增函数．
（1）求证：f（x）在（-∞，0]上也是增函数；
（2）对任意θ∈R，不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接利用函数单调性的定义，判断f（x）在（-∞，0]上也是增函数；
（2）利用（1）函数的单调性，转化不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0，为cos2θ-3＞-2m+sinθ?m＞

-cos2θ+sinθ+3

2

，然后表达式的最大值，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）设x₁＜x₂≤0，则-x₁＞-x₂≥0．
∵f （x）在[0，+∞）上是增函数，
∴f （-x₁）＞f （-x₂）．…（2分）
∵f（x）为奇函数，
∴f （-x₁）=-f （x₁），f （-x₂）=-f （x₂）．…（2分）
于是-f （x₁）＞-f （x₂），即f （x₁）＜f （x₂）．
所以f （x）在（-∞，0]上也是增函数．…（2分）
（2）由（1）知，函数f （x）在（-∞，+∞）上是增函数．…（1分）
∵f （x）为奇函数，
∴f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0
?f（cos2θ-3）＞-f（2m-sinθ）
?f（cos2θ-3）＞f（-2m+sinθ）…（2分）
由（1）知f （x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∴f(cos2θ-3)＞f(-2m+sinθ)?cos2θ-3＞-2m+sinθ?m＞

-cos2θ+sinθ+3

2

?m＞sin2θ+

1

2

sinθ+1=(sinθ+

1

4

)2+

15

16

．…（3分）
∵θ∈R，∴当sinθ=1时，(sinθ+

1

4

)2+

15

16

取得最大值

5

2

．
∵不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立，
∴故实数m的取值范围是(

5

2

，  +∞)． …（2分）

点评：本题考查函数的单调性的判断以及单调性的应用，函数恒成立问题的应用，二倍角的余弦函数，考查转化思想以及计算能力．