Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+ +x（a＞0）．若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y=0垂直， （Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f′x）= ﹣ +1， ∴f′（1）=﹣2，
∴2a2﹣a﹣3=0，
∵a＞0，
∴a= ．
（Ⅱ）∵f′（x）= ，
令f′（x）＞0，解得：x＞ ，x＜﹣3（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜
∴f（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增
【解析】（1）先求出f′x）= ﹣ +1，得f′（1）=﹣2，从而求出a的值，（2）先求出函数的导数，解不等式从而求出单调区间．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．