Question

【题目】已知双曲线的右顶点为, 以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点.若,且（其中为原点），则双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

设双曲线的一条渐近线方程为x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由向量共线的坐标表示，可得Q的坐标，求得弦长|PQ|，运用中点坐标公式，可得PQ的中点坐标，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得m，r，运用圆的弦长公式计算即可得到a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值．

解：设双曲线的一条渐近线方程

为yx，A（a，0），

P（m，），（m＞0），

由3，可得Q（3m，），

圆的半径为r＝|PQ|2m，

PQ的中点为H（2m，），

由AH⊥PQ，可得，

解得m，r．

A到渐近线的距离为d，

则|PQ|＝2r，

即为dr，即有．

可得，

e．

另解：可得△PAQ为等边三角形，

设OP＝x，可得＝3x，PQ＝2x，

设M为PQ的中点，可得PM＝x，AMx，

tan∠MOA，

则e．

故选：C．