Question

（2007•闵行区一模）（理）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（a，4）、B（0，b）、C（c，0）．
（1）若a=3，b=0，c=5，求sinA的值；
（2）若虚数x=2+ai（a＞0）是实系数方程x²-cx+5=0的根，且∠A是钝角，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积的定义求出cosA的值，再利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值．
（2）由题意可得，虚数x=2-ai也是实系数方程x²-cx+5=0的根，由韦达定理得求得a和c的值，由

AB

 •

AC

＜0求出
b的取值范围，再从中除去

AB

、

AC

共线时的b值．

解答：解：（1）∵

AB

=(-3， -4)，

AC

=(2， -4)，（2分）
cosA=

AB • AC

| AB || AC |

=

-6+16

5•2 5

=

1

5

，且0＜A＜π，（4分）
∴sinA=

1-cos2A

=

1- 1 5

=

2 5

5

．（6分）
（2）由题意可得，虚数x=2-ai也是实系数方程x²-cx+5=0的根，
由韦达定理得求得 a=1，c=4．（8分）
∴

AB

=(-1， b-4)，

AC

=(3， -4)，（10分）
∵∠A是钝角，由

AB

•

AC

=-3-4b+16＜0，解得 b＞

13

4

．（12分）
又

AB

、

AC

共线时，b=

16

3

．
故b的取值范围为 {b|b＞

13

4

且b≠

16

3

}．（14分）

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，同角三角函数的基本关系，注意排除当

AB

、

AC

共线时的情况，这是解题的易错点．