Question

已知f（x）=-sin²x+m（2cosx-1），x∈[-

π

3

，

2π

3

]
（1）如函数f（x）的最小值为g（m），求函数g（m）的解析式；
（2）当g（m）=-1时，求实数m的值；
（3）在（2）的条件下求函数f（x）的最大值及相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=cos²x+2mcosx-m-1=（cosx+m）²-m²-m-1，令t=cosx（-1≤t≤1），对h（t）=（t+m）²-m²-m-1的对称轴方程t=-m的范围分类讨论，利用二次函数的单调性质，即可求得函数g（m）的解析式；
（2）根据（1）中函数g（m）的解析式，可求得当g（m）=-1时，实数m的值；
（3）对（2）中求得的m=-1与m=0分别代入f（x）=cos²x+2mcosx-m-1，x∈[-

π

3

，

2π

3

]，利用函数f（x）的单调性即可求得函数f（x）的最大值及相应的x的值．

解答：（1）∵f（x）=cos²x+2mcosx-m-1=（cosx+m）²-m²-m-1，
令t=cosx（-1≤t≤1），
则h（t）=（t+m）²-m²-m-1，其对称轴方程为t=-m，
∴当m≤-1时，-m≥1，h（t）在[-1，1]上单调递减，
∴h（t）_min=h（1）=m，即g（m）=m（m≤-1）；
当-1＜m＜

1

2

时，同理可得g（m）=h（-m）=--m²-m-1；
当m≥

1

2

时，g（m）=h（-

1

2

）=-2m-

3

4

．
∴g（m）=

m，m≤-1 -m2-m-1，-1＜m＜ 1 2 -2m- 3 4 ，m≥ 1 2

．
（2）由（1）知，当m≤-1时，g（m）=m=-1，即m=-1符合题意；
当-1＜m＜

1

2

时，g（m）=--m²-m-1=-1，解得m=0或m=-1（舍去）；
当m≥

1

2

时，g（m）=-2m-

3

4

=-1，解得m=

1

8

（舍去），
综上所述，m=-1或0．
（3）当m=-1时，f（x）=cos²x-2cosx=（cosx-1）²-1，
∵x∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴当x=

2π

3

，即cosx=-

1

2

时，f（x）=cos²x-2cosx取得最大值

5

4

；
当m=0时，f（x）=cos²x-1=-sin²x，x∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴x=0时，f（x）_max=0．

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查二次函数的单调性与最值，突出考查分类讨论思想、方程思想、化归思想的综合应用，属于难题．