Question

（2009•卢湾区一模）对于函数f(n)=

1+(-1)n

2

（n∈N^*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）=1（k∈N^*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（　　）

A．f（n+1）-f（n）=1

B．f（n+k）=f（n）（k∈N^*）

C．α^f（n）=f（n+1）+αf（n）（α≠0）

D．α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）

Answer 1

分析：对于函数f(n)=

1+(-1)n

2

（n∈N^*），取一些特殊值n=1，2，3，4，…时观察其函数值的特点，再对选项一一验证即可．

解答：解：对于函数f(n)=

1+(-1)n

2

（n∈N^*），当n=1，2，3，4，…时的函数值为：0，1，0，1，…
对于A：f（3）-f（2）=-1不成立，故错；
对于B：f（n+1）≠f（n）不成立，故错；
对于C：α^f（n）=

α，n为偶数 1，n为奇数

，f（n+1）+αf（n）=

α，n为偶数 1，n为奇数

成立，故正确；
对于D：α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）不成立，故错；
故选C．

点评：本小题主要考查函数的表示方法、函数周期性的应用、数列的表示方法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．