Question

已知直线l：

1

4

x+b（b≠0）与椭圆C：

x2

a2

+y2=1相交于A、B两点，点P在椭圆C上但不在直线l上．
（1）若P点的坐标为（1，

3

2

），求b的取值范围；
（2）是否存在这样的点P，使得直线PA、PE的斜率之积为定值？若存在，求出P点坐标及定值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据P（1，

3

2

）是

x2

a2

+y2=1上的点，确定椭圆方程，将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用△＞0，点P不在直线l上，即可求得b的取值范围；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①知，x₁+x₂=-

8b

5

，x₁x₂=

16(b2-1)

5

，假设存在这样的P点，设其坐标为（x₀，y₀），求得直线PA、PE的斜率之积，利用直线PA、PE的斜率之积为定值，可求P点的坐标．

解答：解：（1）∵P（1，

3

2

）是

x2

a2

+y2=1上的点，
∴

1

a2

+

3

4

=1，∴a²=4
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1
将直线方程代入椭圆方程，消去y可得5x²+8bx+16（b²-1）=0①，则△＞0
即64b²-4×5×16（b²-1）＞0，∴-

5

2

＜b＜

5

2

∵点P不在直线l上，∴b≠

3

2

-

1

4

∵b≠0，∴b的取值范围为（-

5

2

，0)∪(0，

3

2

-

1

4

)∪(

3

2

-

1

4

，

5

2

∪(0，

3

2

-

1

4

)∪（

3

2

-

1

4

，

5

2

）；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①知，x₁+x₂=-

8b

5

，x₁x₂=

16(b2-1)

5

假设存在这样的P点，设其坐标为（x₀，y₀），则
直线PA、PE的斜率之积为

4 5 b2- 8y0 5 b+y02- 1 5

16b2 5 + 8x0 5 b+x02- 16 5

要使直线PA、PE的斜率之积为定值，则必有

- 8y0 5 = 1 4 × 8x0 5 y02- 1 5 = 1 4 (x02- 16 5 )

∴P的坐标为（

4 5

5

，-

5

5

）或（-

4 5

5

，

5

5

）
故存在P点，坐标为（

4 5

5

，-

5

5

）或（-

4 5

5

，

5

5

），使直线PA、PE的斜率之积为定值

1

4

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．