Question

已知M是曲线y=lnx+

1

2

x2+(1-a)x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均不小于

π

4

的锐角，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[2，+∞）
• B、[4，+∞）
• C、（-∞，2]
• D、（-∞，4]

Answer 1

分析：由已知中M是曲线y=lnx+

1

2

x2+1(1-a)x上的任一点，曲线在M点处的切线的倾斜角均不小于

π

4

的锐角，则曲线在M点处的切线的不小于1，即曲线在M点处的导函数值不小于1，根据函数的解析式，求出导函数的解析式，构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：∵y=lnx+

1

2

x2+1(1-a)x
∴y′=

1

x

+x +(1-a)≥3-a
若曲线在M点处的切线的倾斜角均不小于

π

4

的锐角，
则3-a≥1
解得a≤2
故选C．

点评：本题考查的知识点是直线的倾斜角，利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中利用基本不等式构造关于a的不等式是解答本题的关键．