Question

已知数列{a_n}满足：a₁=6，an+1=

n+2

n

an+(n+1)(n+2)，
（1）求a₂，a₃；
（2）若dn=

an

n(n+1)

，求数列{d_n}的通项公式；
（3）若a_n=kC³_n+2，（其中C_n^m表示组合数），求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用递推公式可求a₂，a₃
（2）由已知递推关系构造新的等差数列{d_n，求出数列{d_n}的通项公式
（3）先求出a_n，及k的值，然后代入S_n=a₁+a₂+…+a_n=6（C₃³+C₄³+…+C_n+2³）

解答：解：（1）a₂=24，a₃=60（4分）
（2）an+1=

n+2

n

an+(n+1)(n+2)
两边同时除以（n+1）（n+2）可得

an+1

(n+2)(n+1)

=

an

n(n+1)

+1
d_n+1-d_n=1（3分）
所以{d_n}是等差数列，且d1=

a1

1•2

=3，
所以d_n=3+（n-1）=n+2（3分）
（3）由（1）得a_n=n（n+1）（n+2）（1分）
a_n=kC³_n+2=k•

n(n+1)(n+2)

6

，k=6（2分）
即：a_n=n（n+1）（n+2）=6C_n+2³（1分）
所以，S_n=a₁+a₂+…+a_n=6（C₃³+C₄³+C₅³++C_n+2³）（1分）
=6C_n+3⁴（2分）
=

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

（1分）

点评：本题主要是构造等差数列求通项公式，然后结合组合数的性质求出数列的前n和，要注意掌握构造方法求通项的常见类型．