Question

某地为促进淡水养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克,根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:

P=1 000(x+t-8)(x≥8,t≥0),Q=500(0≤x≤14),

当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格.

(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域.

(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?

Answer 1

思路分析:弄清题意是解答本题的关键.第(1)问中,将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,就是将x表示为t的函数,即x=f(t).第(2)问就是在函数x=f(t)中,值域f(t) ≤10时,求自变量t的最小值.

解:(1)市场平衡价格即P=Q.

∴1 000(x+t-8)=500.

化简得［2(x+t-8)］²=40-(x-8) ²,5x²+(8t-80)x+(4t²-64t+280)=0,

当Δ=(8t-80) ²-4×5×(4t²-64t+280)≥0,即Δ=800-16t²≥0,t²≤50时,

x=8- t±.由已知x≥8,∴x=8-t+.

故所求函数解析式为x=8-t+.

其中定义域必须满足以下条件:

即即0≤t≤.

(2)市场平衡价格不高于每千克10元,

即8-t+≤10,整理得≤5+2t.

∴t≤-5或t≥1.又∵0≤t≤,∴t≥1.故政府补贴至少每千克1元.