Question

已知函数, ,,、.

(Ⅰ)若，判断的奇偶性；

(Ⅱ) 若，是偶函数，求;

（Ⅲ）是否存在、，使得是奇函数但不是偶函数？若存在，试确定与的关系式；如果不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）是非奇非偶函数.（Ⅱ）；（Ⅲ）存在、满足时，是奇函数但不是偶函数.

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 方法一（定义法）：

.             2分

所以是非奇非偶函数.           3分

方法二（特殊值法）：由知不是奇函数.     1分

又由，知不是偶函数.     2分

所以是非奇非偶函数.    3分

(Ⅱ) 方法一（定义法）：，

偶函数，， 

 ，     5分

 ， .             6分                                

方法二（特殊值法）：为偶函数

所以

所以   5分

 ，，经验证满足题意.    6分

（Ⅲ）方法一:假设存在、，使得是奇函数.

由得，，所以.

由知，.

又，故或，

即或.  8分

当时，=+

=+=-=0，

此时既是奇函数又是偶函数.不合题意，舍去.    9分

当时，=+

=+=-=

此时是奇函数但不是偶函数.

综上，存在、满足时，是奇函数但不是偶函数.    10分

方法二:假设存在、，使得是奇函数.

由得，

化简整理得，,从而.下同方法一.

考点：三角函数的奇偶性；二倍角公式；三角函数的综合应用。

点评：(1)此题主要考查三角函数的奇偶性。判断一个函数奇偶性的步骤：一求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称；二判断。有时，若的关系不好判断时，可以根据定义域进行化简。(2) 若函数为偶函数，则；若函数为奇函数，则。