Question

【题目】已知数列{an}的前n项和．

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，满足b1＝1，．

①求数列{bn}的通项公式bn；

②若存在p，q，k∈N*，p＜q＜k，使得ambq，amanbp，anbk成等差数列，求m+n的最小值．

Answer 1

【答案】(1) an．(2) ①bn＝2n﹣1；②7

【解析】

（1）根据前n项和与通项的关系，即可求出通项公式；

（2）①将代入递推公式中，用裂项相消求出，再由前n项和求出通项；

②由等差数列的中项性质，求出的不等量关系，结合基本不等式，即可得到最小值．

（1）∵数列{an}的前n项和．

∴当n＝1时，a1＝S1，

当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，

当时，a1，满足上式，

∴an．

（2）①∵

=（）+（）+（）+…+（）

1．

∴1，

∴Tn+1＝2n+1﹣1，Tn＝2n﹣1，

把上面两式相减得，bn+1＝2n，

∴时，，

当时，满足上式，

②由ambq，amanbp，anbk成等差数列，

有2amanbp＝ambq+anbk，

即2，

由于p＜q＜k，且为正整数，所以q﹣p≥1，k﹣p≥2，

所以mn＝m+n≥2m+4n，

可得 mn≥2m+4n，1，

的最小值为12，

此时或或，

的最小值为12.