Question

已知F₁、F₂是椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点，若椭圆上存在点P使得∠F₁PF₂=120°，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

分析：先根据椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a，再利用余弦定理化简整理得cos∠PF₁F₂=

4a2-4c2

2|PF1| |PF2|

-1，进而根据均值不等式确定|PF₁||PF₂|的范围，进而确定cos∠PF₁F₂的最小值，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，确定椭圆离心率的取值范围．

解答： 解：设，P（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，
则|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得cos120°=-

1

2

=

(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2

2(a+ex1)(a-ex1)

，
解得x12=

4c2-3a2

e2

．
∵x₁²∈[0，a²]，∴0≤

4c2-3a2

e2

≤a2，即4c²-3a²≥0．且e²＜1
∴e=

c

a

≥

3

2

．
故椭圆离心率的取范围是e∈[

3

2

， 1)．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F₁PF₂值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．