Question

已知函数f(x)=

-x3+x2+bx+c，x＜1 alnx，x≥1

，当x=

2

3

时，函数f（x）有极大值

4

27

．
（Ⅰ）求实数b、c的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）x＜1时，f′（x）=-3x²+2x+b，利用当x=

2

3

时，函数f（x）有极大值

4

27

，建立方程，即可求得实数b、c的值；
（Ⅱ）存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，等价于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立，分类讨论，求出函数的最大值，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）x＜1时，f′（x）=-3x²+2x+b
∵当x=

2

3

时，函数f（x）有极大值

4

27

，
∴f′（

2

3

）=-

4

3

+

4

3

+b=0，f（

2

3

）=-

8

27

+

4

9

+c=

4

27

，
∴b=0，c=0；
（Ⅱ）存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，等价于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立
由（Ⅰ）知，f(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx，x≥1

①-1≤x＜1时，f′（x）=-3x（x-

2

3

），函数在（-1，0）上单调递减，在（0，

2

3

）上单调递增，在（

2

3

，1）上单调递减
∵f（-1）=2，f（

2

3

）=

4

27

，∴-1≤x＜1时，f（x）_max=2，；
②2≥x≥1时，f′（x）=

a

x

，
1°、a＞0，函数在[1，2]上单调递增，f（x）_max=f（2）=aln2，
∴

aln2＞2 aln2≥3a-7

或

aln2≤2 2≥3a-7

，∴

2

ln2

＜a≤

7

3-ln2

或0＜a≤

2

ln2

；
2°、a≤0，函数在[1，2]上单调递减，f（x）_max=f（1）=aln1=0，
∴2≥3a-7，∴a≤3，∴a≤0
综上，实数a的取值范围是a≤

7

3-ln2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的绝对值，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．