Question

已知函数f(x)=

2x-2-x

2x+2-x

（1）求f（x）的定义域与值域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）研究f（x）的单调性．

Answer 1

分析：原函数化为：：f(x)=

4x-1

4x+1

（1）求f（x）的定义域可令分母4^x+1≠0求解，对函数的解析式进行变化，判断出值域即可值域；
（2）讨论f（x）的奇偶性并证明，本函数是一个奇函数，由定义法证明即可；
（3）判断f（x）在（-∞，+∞）的单调性并证明，由解析式可以看出本函数在（-∞，+∞）是一个减函数，可由复合函数的单调性的判断方法判断证明即可．

解答：解：原函数化为：f(x)=

4x-1

4x+1

．
（1）令分母4^x+1≠0，该不等式恒成立，故定义域为R
函数的解析式可以变为f(x)=1-

2

4x+1

，由于4^x+1＞1，故0＜

1

4x+1

＜1
故0＜

2

4x+1

＜2，
∴f（x）的值域是（-1，1）
（2）函数是一个奇函数，证明如下
f(-x)=

4-x-1

4-x+1

=

1-4x

1+4x

= -

4x-1

4x+1

=-f(x)，故是一个奇函数．
（3）f（x）在（-∞，+∞）是一个增函数，证明如下
由于f(x)=1-

2

4x+1

，在（-∞，+∞）上，2^x+1递增且函数值大于0，

2

4x+1

在（-∞，+∞）上是减函数，
故f(x)=1-

2

4x+1

在（-∞，+∞）上是增函数．

点评：本题考查函数单调性的、奇偶性的判断与证明以及函数的定义域与值域的求法，求解此类题的关键是对函数性质的证明方法了然于胸，熟知其各种判断证明方法．