Question

已知双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为

5

3

c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为

3

2

．

Answer 1

分析：根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay=0，焦点坐标为（±c，0）．利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b=

5

3

c，再用平方关系可算出a=

2

3

c，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．

解答：解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为bx±ay=0，焦点坐标为（±c，0），其中c=

a2+b2

∴一个焦点到一条渐近线的距离为d=

|±bc|

a2+b2

=

5

3

c，即b=

5

3

c，
因此，a=

c2-b2

=

2

3

c，由此可得双曲线的离心率为e=

c

a

=

3

2

故答案为：

3

2

点评：本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与焦距的关系，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．