Question

【题目】在100x25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第行第列中填入的数为(如表 1)。然后将表1每列中的数按由大到小的次序从上到下重新排列为,。(如表2)求最小的自然数k，使得只要表1中填入的数满足则当i≥k时，在表2中就能保证成立。

表1 表2

Answer 1

【答案】97

【解析】

k的最小值为97.

取

这时，满足题设条件，重排后有 这时，

故k的最小值≥97.

(2)首先证明：表1中必有一行(设为第r行)的所有数必在重排后所得表2的前97行中都出现.事实上，若上述结论不成立，则表1的每一行中至少有一个数不在表2的前97行中出现，即表2的前97行中至多共有表1中100×24= 2400个数.这与表2的前97行共有25×97= 2425个数矛盾.

其次，由重排要求知表2中每列的数从上到下是由大到小排列的，故当i≥97时，

故当i≥97时，.综合1、2知k的最小值为97.