Question

【题目】已知函数f（x）=ax3﹣bx+2（a＞0）
（1）在x=1时有极值0，试求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）在x=2处的切线方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ax3﹣bx+2的导数为f′（x）=3ax2﹣b，

在x=1时有极值0，可得f（1）=0，且f′（1）=0，

即为a﹣b+2=0，且3a﹣b=0，

解得a=1，b=3，

可得f（x）=x3﹣3x+2

（2）解：f′（x）=3ax2﹣b，

可得f（x）在x=2处的切线斜率为12a﹣b，

切点为（2，8a﹣2b+2），

即有f（x）在x=2处的切线方程为y﹣（8a﹣2b+2）=（12a﹣b）（x﹣2），

化为（12a﹣b）x﹣y﹣16a+2=0

【解析】（1）求出f（x）的导数，可得f（1）=0，且f′（1）=0，得到a，b的方程，解方程可得a，b的值，进而得到f（x）的解析式；（2）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．