Question

小正方形按照图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{a_n}有以下结论，

（1）a₅=15   
（2）{a_n}是一个等差数列； 
（3）数列{a_n}是一个等比数列；   
（4）数列{a_n}的递推公式a_n+1=a_n+n+1（n∈N^*）
其中正确的是（　　）

A．（1）（2）（4）

B．（1）（3）（4）

C．（1）（2）

D．（1）（4）

Answer 1

分析：根据题意，结合等差数列的求和公式算出a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，由此再对各个选项加以判断，可得（1）和（4）是真命题，而（2）（3）是假命题．

解答：解：根据题意，可得
a₁=1，a₂=3=1+2，a₃=6=1+2+3，a₄=10=1+2+3+4，…
发现规律：a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
由此可得
a₅=

5(5+1)

2

=15，故（1）正确；{a_n}不是一个等差数列，故（2）不正确；
数列{a_n}不是一个等比数列，可得（3）不正确；
而a_n+1-a_n=

(n+1)(n+2)

2

-

n(n+1)

2

=

n+1

2

[（n+2）-n]=n+1
故a_n+1=a_n+n+1成立，故（4）正确
综上所述，正确命题为（1）（4）
故选：D

点评：本题给出图形的特殊排列，叫我们依此判断命题的真假．着重考查了等差数列的通项与求和公式、数列递推式的推导等知识，属于中档题．