Question

（2013•奉贤区二模）动圆C过定点F(

p

2

，0)，且与直线x=-

p

2

相切，其中p＞0．设圆心C的轨迹Γ的程为F（x，y）=0
（1）求F（x，y）=0；
（2）曲线Γ上的一定点P（x₀，y₀）（y₀≠0），方向向量

d

=(y0，-p)的直线l（不过P点）与曲线Γ交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为k_PA，k_PB，计算k_PA+k_PB；
（3）曲线Γ上的两个定点P₀（x₀，y₀）、Q0(x0′，y0′)，分别过点P₀，Q₀作倾斜角互补的两条直线P₀M，Q₀N分别与曲线Γ交于M，N两点，求证直线MN的斜率为定值．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义即可得出轨迹方程；
（2）由直线l的方向向量可设直线l的方程为y=-

p

y0

x+b，与抛物线的方程联立消去x得到关于y的一元二次方程，得到根与系数的关系，利用斜率计算公式和点P在抛物线上满足的条件，即可得出k_PA+k_PB；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得到k_MN．设MP₀的直线方程为y-y₀=k（x-x₀）与抛物线联立，得到根与系数的关系，同理由直线Q₀N的方程与抛物线的方程联立也得到根与系数的关系，代入k_MN即可证明．

解答：解：（1）过点C作直线x=-

p

2

的垂线，垂足为N，
由题意知：|CF|=|CN|，即动点C到定点F与定直线x=-

p

2

的距离相等，
由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，
其中F(

p

2

，0)为焦点，x=-

p

2

为准线，
所以轨迹方程为y²=2px（p＞0）；       
（2）设 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
不过点P的直线l方程为y=-

p

y0

x+b，
由

y2=2px y=- p y0 x+b

得y²+2y₀y-2y₀b=0，
则y₁+y₂=-2y₀，
kAP+kBP=

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

=

y1-y0

y 2 1 2p - y 2 0 2p

+

y2-y0

y 2 2 2p - y 2 0 2p

=

2p

y1+y0

+

2p

y2+y0

=

2p(y1+y2+2y0)

(y1+y0)(y2+y0)

=0．
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则kMN=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y 2 2 2p - y 2 1 2p

=

2p

y1+y2

（***）                    
设MP₀的直线方程为为y-y₀=k（x-x₀）与曲线y²=2px的交点P₀（x₀，y₀），M（x₁，y₁）．
由

y2=2px y-y0=k(x-x0)

，y2-

2p

k

y+

2py0

k

-2px0=0的两根为y₀，y₁
则y0+y1=

2p

k

，∴y1=

2p

k

-y0
同理y0′+y2=

2p

-k

，得y2=-

2p

k

-y0′
∴y1+y2=-(y0+y0′)，
代入（***）计算得kMN=-

2p

y0+y0′

．是定值，命题得证

点评：熟练掌握抛物线的定义、直线l的方向向量、直线与抛物线相交问题转化为方程联立消去x得到关于y的一元二次方程及得到根与系数的关系、斜率计算公式和点P在抛物线上满足的条件等是解题的关键．