Question

设函数f(x-2)=-x²+4x-3,

(1)求f(x)的表达式；

(2)设g(x)=f[f(x)],F(x)=p·g(x)-4f(x),问是否存在实数p,使F(x)在(-∞,f(2)]上是增函数,且在(f(2),0)上是减函数?若存在,求出p的值；若不存在,请说明理由.

Answer 1

分析：(1)可由换元法(令t=x-2)求得f(x).

(2)由F(x)的单调性,可得F′(x)＞0在(-∞,f(2))上成立,且F′(x)＜0在(f(2),0)上成立,而求得p的值.

解：(1)因为f(x-2)=-x²+4x-3=-(x-2)²+1,所以f(x)=1-x².

(2)因为g(x)=f[f(x)]=1-(1-x²)²=-x⁴+2x²,

    所以F(x)=p(2x²-x⁴)-4(1-x²),

    即F(x)=-px⁴+2(p+2)x²-4.

    所以F′(x)=-4px³+4(p+2)x=4x(p+2-px²).

    又f(2)=1-2²=-3,

    所以由题意F(x)在(-∞,-3]上是增函数,在[-3,0]上是减函数.

    所以有F′(-3)=0,即p+2-9p=0.所以p=.

    而当p=时,F′(x)=4x(+2-x²)=x(9-x²)=-x(x+3)(x-3),

    所以F′(x)在x＜-3时,有F′(x)＞0,

    在-3＜x＜0时,有F′(x)＜0.

    这就说明当p=时,F(x)在(-∞,-3]上递增,在(-3,0)上递减,

    即这样的p存在,且p=.