Question

【题目】在数列中，已知，，，设为的前项和．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求；

（3）是否存在正整数，，，使成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）（3），，的值为，，．

【解析】

试题分析：（1）证明数列为等差数列，一般方法为定义法，即利用相邻两项的差为常数进行论证：（2）先确定的通项公式：，再求，最后利用错位相减法求和，注意相减时项的符号变化、项数的确定、最后结果得表示（3）存在性问题，一般以算代探：先根据成等差数列得，代入得，通过研究单调性，确定满足条件解的范围：当时，因此满足条件的解，经验证满足条件

试题解析：（1）证明：因为，所以，…………………2分

又因为，所以，

所以是首项为1，公差为的等差数列． …………………………4分

（2）由（1）知，所以，………6分

所以，

所以，

两式相减得

，

所以．…………………………………………………………………10分

（3）假设存在正整数，，，使成等差数列，

则，即．

由于当时，，所以数列单调递减．

又，所以且至少为2，所以， ………………12分

．

①当时，，又，

所以，等式不成立．………………………………………14分

②当时，，

所以，所以，所以(单调递减，解唯一确定)．

综上可知，，，的值为，，． ………………………………16分