Question

（1）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义法加以证明；
（2）若函数在区间（1，+∞）上的单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函数单调性的定义进行证明．注意化简f（x₂）-f（x₁）是一定要化到最简．
（2）已知f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．
解答：解：（1）f（x）在（1，+∞）上的单调递增                            …（2分）
x₁，x₂是区间（1，+∞）上的任意两个值，且x₁＜x₂…（3分）
则x₂-x₁＞0，x₁+x₂＞2，x₁x₂＞1，∴…（5分）

=
=…（7分）
∴f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在（1，+∞）上的单调递增   …（8分）
（2）在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤2x³在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≤2．…（16分）
点评：本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．