Question

（1）求离心率e=

6

3

，且过点（3，0），焦点在y轴上的椭圆的标准方程．
（2）双曲线C与4x²+y²=1有相同的焦点，它的一条渐近线方程是y=

2

x，求双曲线C的方程．

Answer 1

分析：（1）先设出椭圆方程，根据条件列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得到结论；
（2）将椭圆化成标准方程，可得焦点坐标为（0，±

3

2

），因此设双曲线方程为

y2

m

-

x2

3 4 -m

=1（0＜m＜

3

4

），根据渐近线方程建立关于m的等式，算出m的值即可得到该双曲线的方程．

解答：解：（1）∵椭圆的焦点在y轴上，
∴可设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）
由于椭圆过点（3，0），故

32

b2

=1，解得b=3
又离心率e=

6

3

=

c

a

，则

c2

a2

=

6

9

=

2

3

，
故

b2

a2

=

1

3

，所以a=3

3

∴a=3

3

，b=3，
故椭圆的标准方程为

y2

27

+

x2

9

=1．
（2）将椭圆4x²+y²=1化成标准方程为

x2

1 4

+y2=1，可得焦点坐标为（0，±

3

2

），
因此设双曲线方程为

y2

m

-

x2

3 4 -m

=1（0＜m＜

3

4

），
由双曲线的一条渐近线方程是y=

2

x，可得

m 3 4 -m

=

2

，
解得m=

1

2

，故双曲线的方程为

y2

1 2

-

x2

1 4

=1，整理得2y²-4x²=1．

点评：本题给出双曲线与椭圆有相同焦点，求双曲线的标准方程．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．