Question

【题目】如图，已知椭圆的中心在原点，长轴左、右端点、在轴上，椭圆的短轴为，且、的离心率都为，直线, 与交于两点，与交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为、、、.

（1）设，求与的比值；

（2）若存在直线,使得，求两椭圆离心率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】试题分析：

(1)利用题意写出A,B两点的坐标，结合纵坐标的值求解与的比值即可；

(2) 时的不符合题意，否则，利用直线的斜率相等得出关于离心率 的不等式，求解不等式即可球的最终结果.

试题解析：

（1）因为、的离心率相同，

故依题意可设.

设直线分别和、的方程联立，求得.

当时， ，分别用、表示、的纵坐标，可知.

（2）时的不符合题意， 时， ，当且仅当的斜率与的斜率相等，即：

，解得.

因为，又，所以，解得.

∴当时，存在直线,使得，即离心率的取值范围是.